на главную |
войти |
регистрация |
контакт |
FAQ |
рейтинг книг |
рейтинг авторов |
впечатления |
каталог |
новые книги |
гиппий элидский
Гиппий Элидский. Появление «Начал» подготовляли и работы софистов, философов и естественников Ч — 1Ч вв. до н. э., отказывающихся от религии, ищущих рационалистического объяснения природных явлений, из которых некоторые «старшие» были материалистами, между тем как другие, особенго поздние, склонялись к философскому релятивизму, скептицизму и идеализму. К софистам принадлежал Гиппий Элидский, родившийся около 460 г. до н. э. Ему приписывается открытие особой кривой, которая впоследствии была названа квадратрисой грис 8). Если прямая АВ движется равно-
рис. В. мерно, оставаясь параллельной самой себе, до положения ОС, и одновременно луч ОА вращается равномерно вокруг О до положения ОС, то геометрическим местом точек пересечения прямой и луча будет квадратриса, точнее, ее часть, так как кривая имеет бесконечное множество ветвей. Если положим ОА = а, то ее уравнение в прямоугольных координатах будет
ИХ »» 2а р = хс18.2-, откуда получаем, что у» = ОР =11юк с1гг — = —.
о 2«» Гиппий пользовался этой кривой для решения задачи деления угла на три равные части — «трисекции угла». Для того чтобы разделить « РОА на три равные части, опустим перпендикуляр РР' иа ОА, затем построим АЯ' = — АР', по-
3- строим 1,1'Я параллельно Р'Р и до пересечения Я с квадратрисой, тогда ~11ОА =з «'.РОА.
1
Вместе с задачами «квадратуры круга» и «удвоения куба»
«трисекция угла» была одной из трех знаменитых проблем
102
гл. ш. математика е дгееней ггеции
геометрии. Попытки точного решения этих проблем с помощью циркуля и линейки (и при соблюдении дозволенных традицией приемов обращения с этими инструментами) продолжались в течение двух тысячелетий. Поскольку Гиппий применял для решения свою кривую, это решение считалось недозволенным. Однако примерно к тому же времени относится другой способ решения, который, хотя и пользуется лишь одной линейкой, все же не соответствует единственно допускавшимся приемам, вошедшим затем в «Начала» Евклида (кн. 1, постулаты 1, 2), ([92), т. 1, стр. 14) . Это так на- А зываемый метод вставки. Для того чтобы разделить угол АВС на три равные части (рис. 9), проведем АС перпендикулярно Р С ВС и АЕ параллельно ВС. Затем нанесем на линейку метки Р и Е так, чтобы РЕ = 2АВ, и будем вращать линейку вокруг точки В, передвигая ее одновременно так долго, пока Е не попадает на АЕ, Р на АС. Сделав таким образом вставку РЕ, мы замечаем, что если Е есть середина РЕ, то в прямоугольном треугольнике АРЕ мы имеем РЕ = АЕ = ЕЕ, а следовательно, и АЕ = АВ; значит, АВЕ — равнобедренный треугольник, а поэтому а'.АВЕ = а'.АЕВ. Но и треугольник АЕЕ — равнобедренный, а поэтому а'.АЕЕ = а' гАЕ, а следовательно, аАЕВ = 2«'.АЕЕ = 2а'.СВЕ. Таким образом, а'. СВЕ = — ~СВА. 1 з Невозможность в общем случае трисекции угла с помощью циркуля и линейки была доказана лишь после того, как Леонардо Пизанский (Фибоначчи, ок. 1170 — 1230 гг.) показал, что кубическое уравнение с целыми коэффициентами (а к его решению сводится задача трисекции угла) нельзя решить в общем случае с помощью одних только рациональных чисел и квадратичных иррациональностей.
Квадратриса Гиппия, которая могла, конечно, служить и для деления угла не только на три, но и на любое число равных частей, была использована Диностратом (около 350 г. до н. э.) для решения задачи квадратуры круга. Он был братом Менехма, о котором мы будем говорить ниже. Динострат до-
2а казал, что ОР = —, не при помощи предельного перехода, а путем сведйния к абсурду обоих исключающих это равен-
2а 2а ство допущений ОР < — и ОР ) —, воспользовавшись соот-
л а